2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후1) 실전 모의고사 1회 해설집

2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후1) 모의고사 1회 - [문제 1] 상세해설

2027학년도 실전 모의고사 1회 [2026학년도 기출유형] 정답 및 해설

📌 [문제 1-1] 해설 및 모범 답안

\(A_1\)의 \(x\)좌표를 \(s_1\), \(A_3\)의 \(x\)좌표를 \(s_2\)라 하자. 조건에 의해 \(s_1 = s_2 + 1\)이다.
\(A_2\)의 \(y\)좌표는 \(2^{s_1-3} + 35\)이므로 \(A_3\)의 \(x\)좌표는 \(s_2 = \log_2 (2^{s_1-3} + 35)\)이다.
\(s_2 = s_1 - 1\)이므로 \(2^{s_1-3} + 35 = 2^{s_1-1}\). 양변에 \(8\)을 곱하면 \(2^{s_1} + 280 = 4 \cdot 2^{s_1} \implies 3 \cdot 2^{s_1} = 280\).
따라서 \(2^{s_1} = \frac{280}{3} \implies s_1 = \log_2 \frac{280}{3}\), \(s_2 = \log_2 \frac{140}{3}\)이다.
구하는 둘러싸인 도형의 넓이는 사다리꼴 넓이에서 곡선 아래 넓이를 뺀 값이거나 정적분으로 계산된다:
\(S = \int_{s_2}^{s_1} 2^x dx - (s_1 - s_2) \cdot 2^{s_2} = \left[ \frac{2^x}{\ln 2} \right]_{s_2}^{s_1} - 1 \cdot \frac{140}{3} = \frac{1}{\ln 2}\left(\frac{280}{3} - \frac{140}{3}\right) - \frac{140}{3} = \frac{140}{3}\left(\frac{1}{\ln 2} - 1\right)\).
[답] \(\frac{140}{3}\left(\frac{1}{\ln 2} - 1\right)\)

📌 [문제 1-2] 해설 및 모범 답안

\(A_{2k-1}\)의 \(y\)좌표가 \(y_k\)이므로 \(x\)좌표는 \(\log_2 y_k\)이다.
점 \(A_{2k}\)의 \(y\)좌표는 \(2^{\log_2 y_k - 3} + 35 = \frac{1}{8}y_k + 35\)이며, 이것이 바로 점 \(A_{2k+1}\)의 \(y\)좌표 \(y_{k+1}\)이다.
따라서 수열의 점화식은 \(y_{k+1} = \frac{1}{8}y_k + 35\)이다.
\(y_5 = \frac{1}{8^4}y_1 + 35\left(1 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8^2} + \frac{1}{8^3}\right) = \frac{1}{4096}y_1 + 35 \cdot \frac{1 - (1/8)^4}{1 - 1/8} = \frac{1}{4096}y_1 + 40\left(1 - \frac{1}{4096}\right) = \frac{10725}{256}\).
양변에 \(4096\)을 곱하면 \(y_1 + 40 \times 4095 = 10725 \times 16 = 171600\).
\(y_1 = 171600 - 163800 = 7800\).
[답] \(7800\)

📌 [문제 1-3] 해설 및 모범 답안

\(g(t) = a\sin t + b|\sin(2t)|\)라 하면, \(f'(x) = g(x)\)이다.
조건 (1), (2)에 의해 \(g(t)\)는 \((0, \pi)\)와 \((\pi, 2\pi)\)에서 부호가 변하지 않아야 하므로 \(|a| \ge 2|b|\)가 유도된다.
\(a^2 + b^2 = 1\)에서 \(b^2 \le \frac{a^2}{4} \implies \frac{5}{4}a^2 \ge 1 \implies |a| \ge \frac{2}{\sqrt{5}}\).
대칭성에 의해 \(\int_0^{2\pi} |g(x)| dx = 4|a|\)이며, 함수 \(|g(x)|\)는 주기 \(2\pi\)를 가진다.
따라서 \(\int_0^{2026\pi} |f'(x)| dx = 1013 \int_0^{2\pi} |g(x)| dx = 4052|a|\)이다.
\(|a| \ge \frac{2}{\sqrt{5}}\)이므로 최솟값은 \(4052 \times \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{8104}{\sqrt{5}}\)이다.
등호 성립 조건 \(|a| = \frac{2}{\sqrt{5}}, |b| = \frac{1}{\sqrt{5}}\)에서 가능한 모든 순서쌍 \((a, b)\)는 4개이다:
[답] 모든 순서쌍: \(\left(\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right), \left(\frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}}\right), \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right), \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\), 최솟값: \(\frac{8104}{\sqrt{5}}\)

2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후1) 모의고사 1회 - [문제 1] 전수 채점기준표

2027학년도 실전 모의고사 1회 [2026학년도 기출유형] 정답 및 해설

하위 문항	채점 세부 기준 및 평가 요소	배점
1-1	점 \(A_1\)과 \(A_2\)의 \(x\)좌표를 로그를 활용하여 정확히 표현한 경우 (\(s_1 = \log_2 \frac{280}{3}, s_2 = \log_2 \frac{140}{3}\))	15점
1-1	지수함수의 정적분을 적용하여 둘러싸인 도형의 넓이 \(\frac{140}{3}\left(\frac{1}{\ln 2} - 1\right)\)을 올바르게 구한 경우	15점
1-2	수열의 귀납적 관계식 \(y_{k+1} = \frac{1}{8}y_k + 35\)를 정확하게 유도한 경우	15점
1-2	점화식을 전개하여 \(y_5 = \frac{10725}{256}\)으로부터 초기항 \(y_1 = 7800\)을 정확히 계산한 경우	15점
1-3	\(a \ne 0\)일 때 조건 (1), (2)의 필요충분조건이 \(\|a\| \ge 2\|b\|\)임을 삼각함수 부등식으로 엄밀히 증명한 경우	10점
	\(a\)와 \(b\)의 부호 4가지 경우를 분류하여 각각의 정적분 값이 \(4052\|a\|\)임을 유도한 경우	20점
	정적분이 최소가 되는 모든 순서쌍 \((a, b)\) 4개와 최솟값 \(\frac{8104}{\sqrt{5}}\)를 정확히 도출한 경우	10점

🔍 QAH 수리논술 감수위원회의 핵심 평가 포인트:
• 지수함수와 수열: 귀납적 관계식 수립에서 분수 거듭제곱 계산 실수를 방지하고 양변에 \(8^4=4096\)을 곱해 정수 연산으로 전환하는 테크닉이 고득점의 핵심입니다.
• 초월함수 정적분: 구간별 부호 일치 조건 \(a \ge 2b\cos t\)에서 코사인의 치역 범위를 완벽하게 반영하여 \(|a| \ge 2|b|\) 부등식을 도출하는 논리적 완결성이 요구됩니다.

2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후1) 모의고사 1회 - [문제 2] 상세해설

2027학년도 실전 모의고사 1회 [2026학년도 기출유형] 정답 및 해설

📌 [문제 2-1] 해설 및 모범 답안

정삼각형 \(BCD\)에서 점 \(O\)는 외심이자 무게중심이다.
선분 \(BC\)의 중점을 \(M\)이라 하면 \(\overline{DM} = 3\sqrt{3}\)이고, 무게중심 성질에 의해 \(\overline{DO} = 2\sqrt{3}, \overline{OM} = \sqrt{3}\)이다.
\(OP \parallel BM\)이므로 삼각형의 닮음에 의해 \(\overline{DP} = 4, \overline{OP} = 2\)이다.
\(\overline{AM} = \sqrt{\overline{AC}^2 - \overline{MC}^2} = \sqrt{a^2-9}\)이고, \(\overline{AO} = \sqrt{\overline{AM}^2 - \overline{OM}^2} = \sqrt{a^2-12}\)이다.
각 삼각형의 넓이는 다음과 같다:
• \( riangle DOP = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 2 = 2\sqrt{3}\)
• \( riangle AOD = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{a^2-12} = \sqrt{3(a^2-12)}\)
• \( riangle AOP = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{a^2-12} \cdot 2 = \sqrt{a^2-12}\)
• \( riangle APD = \frac{2}{3} riangle ACD = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{a^2-9} = 2\sqrt{a^2-9}\)
네 삼각형의 넓이의 곱은 \(2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3(a^2-12)} \cdot \sqrt{a^2-12} \cdot 2\sqrt{a^2-9} = 12(a^2-12)\sqrt{a^2-9}\)이다.
[답] \(12(a^2-12)\sqrt{a^2-9}\)

📌 [문제 2-2] 해설 및 모범 답안

정사영 공식에 의해 \(\cos\theta_1 = \frac{ riangle DOP}{ riangle APD} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{a^2-9}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a^2-9}}\), \(\cos\theta_2 = \frac{ riangle AOD}{ riangle APD} = \frac{\sqrt{3(a^2-12)}}{2\sqrt{a^2-9}}\), \(\cos\theta_3 = \frac{ riangle AOP}{ riangle APD} = \frac{\sqrt{a^2-12}}{2\sqrt{a^2-9}}\)이다.
\(\cos\theta_2 > \cos\theta_3\)이고, \(\cos\theta_1 > \cos\theta_2 \iff 2 > \sqrt{a^2-12} \iff a < 4\)이다.
가장 작은 각 \(\theta\)는 코사인 값이 가장 큰 경우이다.
(i) \(2\sqrt{3} < a < 4\)일 때: \(\cos\theta = \cos\theta_1 = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a^2-9}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \implies a^2 - 9 = \frac{9}{2} \implies a = \frac{3\sqrt{6}}{2}\).
(ii) \(a \ge 4\)일 때: \(\cos\theta = \cos\theta_2 = \frac{\sqrt{3(a^2-12)}}{2\sqrt{a^2-9}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \implies 24(a^2-9) = 27(a^2-12) \implies a = 6\).
[답] \(a = \frac{3\sqrt{6}}{2}, a = 6\)

📌 [문제 2-3] 해설 및 모범 답안

\(a=4\)일 때 \(\overline{AO} = \sqrt{16-12} = 2\), \(\overline{AM} = \sqrt{16-9} = \sqrt{7}\)이다.
정육면체의 한 변의 길이를 \(x\)라 하면 닮음비에 의해 \(\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)x = 3\sqrt{3}\left(1 - \frac{x}{2}\right) \implies x = \frac{18-3\sqrt{3}}{11}\)이다.
정사각형 \(EIJF\)의 면적은 \(x^2\)이며, 평면 \(ACD\) 위로의 정사영은 \(x^2 \cos\theta_3\)이다.
\(\cos\theta_3 = \frac{\sqrt{a^2-12}}{2\sqrt{a^2-9}} = \frac{2}{2\sqrt{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}}\).
정사영 넓이 \(= \left(\frac{18-3\sqrt{3}}{11}\right)^2 \times \frac{1}{\sqrt{7}} = \frac{351 - 108\sqrt{3}}{121\sqrt{7}} = \frac{351\sqrt{7} - 108\sqrt{21}}{847}\).
[답] \(\frac{351\sqrt{7} - 108\sqrt{21}}{847}\)

2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후1) 모의고사 1회 - [문제 2] 전수 채점기준표

2027학년도 실전 모의고사 1회 [2026학년도 기출유형] 정답 및 해설

하위 문항	채점 세부 기준 및 평가 요소	배점
2-1	삼수선의 정리와 정삼각형의 성질을 적용하여 선분 \(\overline{DO}, \overline{DP}, \overline{OP}, \overline{AO}\)의 길이를 정확히 유도한 경우	10점
2-1	네 삼각형의 넓이를 각각 구하고, 그 곱 \(12(a^2-12)\sqrt{a^2-9}\)를 정확히 도출한 경우	20점
2-2	정사영의 정의를 적용하여 \(\cos\theta_1, \cos\theta_2, \cos\theta_3\)의 식을 유도하고 대소 관계를 판별한 경우	15점
2-2	\(a\)의 범위에 따른 코사인 최댓값 방정식을 풀고 \(a = \frac{3\sqrt{6}}{2}, 6\)을 모두 구한 경우	15점
2-3	입체도형의 단면과 공간도형 닮음비를 활용하여 정육면체 한 변의 길이 \(x = \frac{18-3\sqrt{3}}{11}\)을 구한 경우	20점
2-3	정사각형의 넓이에 \(\cos\theta_3 = \frac{1}{\sqrt{7}}\)을 곱하여 최종 정사영 넓이 \(\frac{351\sqrt{7}-108\sqrt{21}}{847}\)을 도출한 경우	20점

🔍 QAH 수리논술 감수위원회의 핵심 평가 포인트:
• 삼수선의 정리와 정사영: 면과 면 사이의 이면각 코사인 값을 정사영 넓이 비율 \(\frac{S'}{S}\)로 치환하여 신속·정확하게 구하는 능력이 채점의 변별 기준입니다.
• 내접 정육면체 닮음비: 사면체 내부 정육면체의 단면을 포함하는 평면에서 닮음 삼각형의 비례식을 세울 때 꼭짓점 기호와 수선의 발 위치를 명확히 서술해야 감점을 방지할 수 있습니다.